La relation entre les intervalles et la fréquence des notes

Fréquence

La fréquence fait référence à la quantité d’oscillations par seconde qui composent le son.

L’oreille humaine détecte (dans les circonstances les plus idéales) les fréquences du son dans une plage comprise entre 20 Hz et 20 000 Hz.

La guitare, un instrument théorique utilisé à des fins de démonstration

La guitare est l’instrument idéal pour montrer les effets physiques et sonores du son produit par des cordes tendues entre deux extrémités.

Prenons l’exemple d’une Gibson ES, la gamme de fréquences est de :

  • à partir de la 6e corde à vide à partir de la 6e corde à vide (mi1 dans les octaves du piano) jusqu’à 82,407 HZ.
  • jusqu’à la note de ré (ré5 dans les octaves du piano) à 1174,7 La 1ère corde.

Représentation physique de la corde qui vibre en premier, elle donne la fréquence d’un élémentaire.

Mais l’équation permet aussi un ensemble de solutions qui correspondent à des fréquences différentes de cette fondamentale, à savoir les harmoniques.

Pour les plus matheux, les harmoniques qui suivent créent une progression géométrique des fréquences.

Continuons à explorer

Dans la Gibson, le diapason (du sillet au chevalet) est de 62,4 cm.

Octave

En divisant la distance du diapason par deux, nous générons un son audio sur la corde vibrante qui correspond à l’octave sur la corde à vide.

La distance entre l’octave et le sillet mesure 31,2 centimètres (à la 12e frette).

Sur une corde, les 12 premières frettes créent tous les demi-tons vers le haut de l’octave dans la gamme chromatique. La note sur la corde à vide.

En musique occidentale, le demi-ton est le plus petit intervalle entre deux degrés de la gamme d’un instrument (la gamme chromatique indienne contient 24 demi-tons).

Si nous accordons la corde de mi (1ère corde) à l’aide d’un accordeur électronique qui affiche les fréquences, nous verrons que la fréquence est de 329,63 HZ (sur la base du la, qui est de 440 HZ)

Sur la 12ème frette, la fréquence devrait avoir la valeur de 659,26 Hz. C’est le double de la fréquence d’une corde à vide.

Deux sons (la corde à vide et l’octave) se produisent dans un rapport de fréquence de 1 et 2.

Le rapport de fréquence est un pourcentage de :

  • Le numérateur est la fréquence d’étude
  • Le dénominateur de la fréquence est la fréquence de référence (unité de fréquence 1)

Pour la corde qui est l’initiale, le rapport de fréquence entre l’octave et les cordes à vide est de 659,26 (ou 329,63 = 2.

L’octave est l’octave qui est le premier intervalle consonant.

La fréquence est également la première harmonique qui se trouve au-dessus de la fréquence fondamentale.

Cinquième

Si nous appuyons sur le 1er tiers de la corde de mi (à 20,8 cm), la longueur de la corde qui vibre est de 41,6 centimètres.

Pour cette distance (qui correspond à la septième frette), la valeur de la fréquence doit être de 493,88 Hz.

Le rapport entre ces deux fréquences est de 493,88 (ou 329,63 = 1,498.

Sur la 7ème frette, la note enregistrée de la corde de Mi correspond à la note B (B3 sur le piano).

Entre ces deux notes, nous avons cinq demi-tons (7 demi-tons) dont le rapport de fréquence est très proche de 1,5.

La cinquième consonne est le deuxième intervalle consonant.

De plus, elle est la deuxième harmonique supérieure à la fréquence fondamentale.

L’accord pythagoricien

Pythagore, mathématicien de l’Antiquité, aurait pu faire ces observations en utilisant un instrument à une seule corde (et sans composants électroniques !) :

  • Une corde vibrante de 2/3 produit une 1ère quinte à la fréquence de 3/2.
  • Si nous prenons les 2/3 de la première cinquième, nous obtenons la cinquième de la cinquième.
    • 2/3 de 2/3 donne une longueur totale de 4/9 avec un rapport de fréquence inverse de 9/4.
    • Mais cette fréquence n’est pas incluse dans l’octave qu’il étudie
    • Il multiplie le dénominateur de la fréquence par 2 (diminution d’une octave) pour obtenir le rapport de fréquence de 9/8.
  • après 7 occurrences, il se rend compte après 7 occurrences, il observe que le rapport de fréquence est proche de 2. (2,14 précisément) et il considère que les sept valeurs trouvées sont les notes d’une échelle à sept tons qui part d’une note fondamentale et progresse vers l’Octave.

La gamme pythagoricienne identifie les intervalles consonants fondamentaux de

  • l’octave est liée au rapport 2/1.
  • la quinte du rapport 3/2
  • la quarte (vue comme la quinte descendante, ramenée à l’octave) est dans le rapport 4/3.

Les défauts d’un tel système sont :

  • Les notes n’ont pas entre elles d’intervalles continus, et un morceau de musique composé pour la tonalité n’est pas transposable à une autre.
  • la septième quinte qui est calculée qui devrait donner une octave incorrecte (2,14 au lieu de 2.)

Jusqu’à 12 demi-tons

La gamme qui comprend l’accord pythagoricien n’est composée que de sept notes et les intervalles entre elles ne suivent pas un schéma régulier.

Les théoriciens ont donc poursuivi le cycle pythagoricien, mais non pas sur 7/5, mais sur 12.

En faisant cela, ils ont découvert que le nouveau point de convergence à l’intérieur de l’octave faisait surface avec une fréquence supérieure à 2,03 (2,03 précisément)

La gamme tempérée

Les musiciens qui jouent d’un instrument à sons fixes (piano, guitare, etc.) sont incapables, contrairement aux instruments qui ne sont pas frettés, de modifier la hauteur des notes tout au long de l’exécution.

Il a donc fallu trouver un compromis dans la précision des quintes en modifiant très peu les intervalles du son pour qu’ils soient répartis de manière égale dans la perception logarithmique du son.

Les mathématiciens sont venus en aide aux musiciens (à moins qu’ils ne soient les mêmes !).

Pour avoir des demi-tons de taille égale à l’intérieur d’une Octave où le rapport de fréquence doit être au moins de 2. On obtient ainsi l’équation suivante :

(Elle est plus facile à employer que e=mc2 car elle cause moins de dégâts)

Le nombre r est le rapport de fréquence entre 2 demi-tons consécutifs.

Lorsque nous résolvons l’équation, nous pouvons obtenir :

Calcul des fréquences

La formule utilisée pour calculer la fréquence dépend du nombre de demi-tons (valeur n) entre la note de référence et la note étudiée.

  • N est considéré comme positif vers les demi-tons supérieurs (puissance positive)
  • N est considéré comme négatif vers les demi-tons inférieurs (puissance négative)
Augmenter

Pour augmenter la fréquence d’un demi-ton, il faut la multiplier par la valeur du r.

Pour augmenter la fréquence de deux demi-tons, il faut la diviser par le r au carré.

Pour 3 demi-tons = la valeur de 3 demi-tons = la valeur de augmentée par le cube. Et ainsi de suite.

Exemples (tous pris sous la forme d’un la à 440 (tous pris sous la forme d’un la à 440)

  • pour connaître la fréquence de la note Bb, dérivée de la note A (A3 piano)
    • 440 Hz X 1,05946 = 466,16 Hz
  • pour déterminer la fréquence de la note C4, dérivée de la note A3
    • C4 est trois demi-tons plus haut que A3
    • La fréquence de 440 Hz est multipliée par 1,05946 à la puissance 3 = 523,251 Hz
Vers le bas

Pour réduire la fréquence d’un demi-ton, il faut la multiplier par le r.

Pour réduire la fréquence de 2 demi-tons, il faut la diviser par le r au carré.

3 demi-tons égalent la valeur de 3 demi-tons = valeur de qui est élevée par le cube. Etc.

Exemples (tous fournis à partir d’un La à 440 (tous fournis à partir d’un La à 440)

  • pour connaître la fréquence de la note G# en la comparant à la note A (A3 piano)
    • 440 Hz : 1,05946 = 415,3Hz
  • pour déterminer la fréquence de la note D3 de A3
    • D3 est 7 demi-tons plus bas que A3.
    • 440 Hz : 1,05946 à la puissance 7 = 293,665 Hz
Tableau de la fréquence des notes de la gamme tempérée

A partir de cette formule, nous pouvons facilement construire le tableau de fréquence.

Le spectre de fréquence de la guitare est mis en évidence.

Les intervalles de l’adolescence tempérée

Je vous propose les suggestions suivantes :

Cinquième degré de tempérament

  • composé de sept demi-tons, il est lié au rapport de fréquence qui est augmenté de la valeur de sept, soit 1,4983.
  • La Cinquième Juste peut être décrite comme se trouvant dans le rapport 3/2 = 1,5
  • La virgule qui les sépare est presque imperceptible.

Les notes consonantes

La concordance est parfaite.

  • selon le rapport de la fondamentale (rapport 1/1) et sur le rapport de l’octave (rapport 2/1)
  • selon le rapport de la cinquième (rapport 3/2) qui est le rapport d’une quarte sur l’octave inférieure
  • sur la Quatrième (ratio 4/3) qui est le ratio d’une Cinquième sur l’Octave ascendante

La consonance n’est pas parfaite pour toutes les situations où il y a un rapport inversé dans les rapports de fréquence :

  • augmentation de la fréquence d’un demi-ton de la note ré à la note ré, ce qui est diatonique sur la gamme
  • en baissant en fréquence d’une note à partir de la note C, on arrive à la note Bb, qui n’est pas diatonique à la gamme.